Persamaan Lingkaran Beserta Contoh Soal

Lingkaran atau bisa disebut sebagai segi-tak hingga dalam bidang geometri. Dalam bidang kartesius, lingkaran adalah titik-titik yang berjumlah tak hingga yang memiliki jarak yang sama dengan pusat lingkaran. Jarak dari setiap titik ke titik pusat biasa disebut sebagai jari-jari r.

Persamaan Lingkaran

Terdapat beberapa macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari-jarinya.

Persamaan umum lingkaran

Dalam lingkaran, terdapat persamaan umum, yaitu:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah bentuk umum persamaannya.

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

Titik pusat lingkaran

$P(a, b) = P(- \frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B)$

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

$r= \sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C} = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}$

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Pada lingkaran: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2=r^2$

Di dalam lingkaran: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2<r^2$

Di luar lingkaran: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2>r^2$

Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2 \rightarrow x^2+y^2=r^2$

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Pada lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 = r^2$

Di dalam lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 < r^2$

Diluar lingkaran: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 > r^2$

Perpotongan Garis dan Lingkaran

Suatu lingkaran dengan persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat ditentukan apakah suatu garis h dengan persamaan $y=mx+n$ tersebut tidak menyentuh, menyinggung, atau memotong lingkaran dengan menggunakan prinsip diskriminan.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ … (persamaan 1)

$y=mx+n$ … (persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

$x^2+(mx+n)^2+Ax+B(mx+n)+C=0$

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka $D<0$

Garis h menyinggung lingkaran, maka $D=0$

Garis h memotong lingkaran, maka $D>0$

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran

Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P (x_1, y_1)$ , dapat ditentukan berdasarkan rumus persamaan lingkaran yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, yaitu

Bentuk $x^2+y^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1=r^2$

Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1+ \frac{A}{2}(x+x_1)+ \frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$

Contoh Soal:

Persamaan garis singgung yang melalui titik (-1,1) pada lingkaran $x^2+y^2--4x+6y-12=0$ adalah …

Jawab:

Dari soal diatas diketahui persamaan lingkaran nya adalah $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ dengan A = -4, B = 6 dan C = -12 dan $x_1=-1, y_1=1$ .

PGS adalah $xx_1+yy_1+ \frac{A}{2}(x+x_1)+ \frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$

$x(-1)+y(1) - \frac{4}{2}(x-1)+ \frac{6}{2}(y+1)-12=0$ $-3x+4y-7=0$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah $4y=3x+7$

Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien $m$ yang menyinggung sebuah lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya

Jika lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt{m^2+1}$

Jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ , maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r dengan

$r= \sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C} = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}$ , sehingga diperoleh:

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C}) \sqrt{m^2+1}$

atau

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}) \sqrt{m^2+1}$

Persamaan garis singgung dengan titik yang berada diluar lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

$y-y_1=m(x-x_1)$

Akan tetapi dari rumus diatas, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dari persamaan hasil subtitusi nilai D=0, dan akan diperoleh nilai m.

sumber : https://www.studiobelajar.com/persamaan-lingkaran/