» » Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Edit

Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

Grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :

1.  Untuk 0 < a < 1

Dari grafik fungsi (x) =  dan g(x) =   yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok .

Fungsi (x) = (a)x

Daerah asalnya {x|x  R}
Daerah hasilnya {y|y > 0, y  R}
Sumbu-x asimtot datar
Grafik di atas sumbu-x
Memotong sumbu-y di titik (0,1)
Merupakan fungsi turun untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x

Daerah asalnya {x|x  > 0, x  R}
Daerah hasilnya {y|y  R}
Sumbu-y asimtot tegak
Grafik di sebelah kanan sumbu-y
Memotong sumbu-x di titik (1,0)
Merupakan fungsi turun untuk setiap x
2.  Untuk a > 1

Dari grafik fungsi (x) = 2x  dan g(x) = 2log x  yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2.

Fungsi (x) = (a)x

Daerah asalnya {x|x  R}
Daerah hasilnya {y|y > 0, y  R}
Sumbu-x asimtot datar
Grafik di atas sumbu-x
Memotong sumbu-y di titik (0,1)
Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x

Daerah asalnya {x|x  > 0, x  R}
Daerah hasilnya {y|y  R}
Sumbu-y asimtot tegak
Grafik di sebelah kanan sumbu-y
Memotong sumbu-x di titik (1,0)
Merupakan fungsi naik untuk setiap x

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi y = 3x

Jawab :


Sifat – Sifat Fungsi Eksponen

Jika a dan b bilangan real (a ≠ 0, b ≠ 0), m dan n bilangan rasional maka berlaku sifat – sifat berikut :

am . an = am+n
 = am-n
(am)n = amn
a-m =
(am . bn)p = amp . bnp
 =
 =  =
ao = 1


Contoh :

Sederhanakanlah persamaan berikut (2x3 . y-5) (-2x-9 . y9)

Jawab :

(2x3 . y-5) (-2x-9 . y9) = (2x3) (-2x-9) (y-5) (y9)

= (2) (-2) x3 . x-9 . y-5 . y9

= -4 . x3-9 . y-5+9

= -4x-6 . y4

=

Persamaan Eksponen

Berikut ini adalah beberapa bentuk penyelesaian persamaan eksponen :

Jika af(x) = ap,  a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = p
Jika af(x) = ag(x),  a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = g(x)
Jika af(x) =bf(x) , a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan a ≠ b maka (x) =0
Jika (x)g(x)=(x)h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
g(x) = h(x)
(x) = 1
(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
Jika A (af(x))2 + B . af(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, A,B,C  R, A ≠ 0
Pada bentuk persamaan ini misalkan y = af(x), sehingga diperoleh nilai x.

Jika ((x))g(x) = 1
Pada bentuk persamaan ini ada beberapa ketentuan yang diantaranya :

Bilangan pokok = 1, dengan syarat eksponen tidak sama dengan tak hingga atau (x)= 1 dan g(x) ≠ ∞.
Bilangan pokok = -1, dengan syarat eksponen genap atau eksponen merupakan bilangan pecahan dengan pembilang adalah bilangan genap dan penyebut bilangan ganjil.
Eksponen = 0, dengan syarat bilangan pokok ≠ 0.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x)2 – 12 . 2x + 32 = 0

Jawab :

  (2x)2 – 12 . 2x + 32 = 0

Misalkan y = 2x

y2 -12y + 32 = 0

(y – 8) (y – 4) = 0

y = 8    |    y = 4

Untuk y = 8
y = 2x

8 = 2x

23 = 2x

x = 3

Untuk y = 4
y = 2x

4 = 2x

22 = 2x

x = 2

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan x = 3

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam pertidaksamaan eksponen, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :

Untuk a > 1, fungsi (x) = axmerupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2  R  berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) <(x2).
Untuk 0 < a < 1, (x) = axmerupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2   R berlaku x1 < x2jika dan hanya jika (x1) >(x2).


Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

5-2x+2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0

Jawab :

5-2x+2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0

52 (5-2x) + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0

25 (5-x)2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0

Misalkan y = 5-x

25y2 + 74y – 3 ≥ 0

(25y – 1) (y + 3) ≥ 0

y ≤ -3    |   y ≥



Untuk y ≤ -3
5-x ≤ -3

Tidak ada nilai x yang memenuhi

Untuk y ≥
5-x ≥

5-x ≥ 5-2

x ≤ 2

Jadi penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Sifat – Sifat Fungsi Logaritma

Secara umum bentuk logaritma dapat dituliskan sebagai berikut :

ab = c  ↔  alog c = b

dengan a > 0 dan a ≠ 1


Berikut ini adalah sifat – sifat dari fungsi logaritma :

alog 1 = 0
alog a = 1
alog an =  n
alog b + alog c = alog (b . c)
alog b – alog c = alog
alog bm = m . alog b
 = alog b
alog b =
 =
 = b
blog a =

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau bilangan pokok dari suatu logaritma.

Misal :

2log (x + 8) + 2log (x + 1) – 2log (x + 56) = 0

Pada persamaan tersebut, merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x. Nilai x yang menjadi anggota himpunan penyelesaian persamaan logaritma adalah nilai x yang menyebabkan :

Numerus pada persamaan semula positif.
Bilangan pokok logaritma pada persamaan semula positif dan tidak sama dengan satu.


Berikut ini adalah bentuk – bentuk persamaan logaritma yang diantaranya :

Jika alog (x) = alog p,  (x) > 0, maka (x) = m
Jika alog(x) = blog(x), a ≠ b, maka (x) = 1
Jika alog(x) = alog g(x), a > 0, a ≠ 1,(x) > 0, g(x) > 0, maka (x) = g(x)
Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), (x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) ≠ h(x)
A plog2 (x) + B plog (x) + C = 0
Pada persamaan ini, misalkan y = plog (x).

Jika f(x)log a = g(x)log a, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, g(x) ≠ 1, maka (x) = g(x)
Jika f(x)log g(x) = p, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) = ((x))p


Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

xlog (2x2 + 11x – 6) = xlog (x2 + 10x)

Jawab :

xlog (2x2 + 11x – 6) = xlog (x2 + 10x)

2x2 + 11x – 6 = x2 + 10x

x2 + x – 6 = 0

(x – 2) (x + 3) = 0

x = 2   |   x = -3

Untuk x = -3
g(x) = 2x2 + 11x – 6

= 2 (-3) + 11 (-3) – 6

= -21

h(x) = x2 + 10x

= (-3)2 + 10(-3)

= -21

(untuk x = -3 tidak memenuhi syarat, karena g(x) dan h(x) harus lebih besar dari 0)



Untuk x = 2
g(x) = 2x2 + 11x – 6

= 2 (2)2 + 11 (2) – 6

= 24

h(x) = x2 + 10x

= (2)2 + 10(2)

= 24

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}

Pertidaksaman Logaritma

Dalam pertidaksamaan logaritma, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :

Untuk a > 1, fungsi (x) = alog x  merupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) < (x2).
Untuk 0 < a < 1, (x) = alog x merupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2   R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) > (x2).


Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut :

(2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2

Jawab :

(i) Penyelesaian pertidaksamaan :

(2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2

(2log x)2 – 4 2log x + 3 ≥ 0

(2log x – 1) (2log x – 3) ≥ 0

2log x ≤ 1             |       2log x ≥ 3

2log x ≤ 2log 2    |        2log x ≥ 2log 8

x ≤ 2     |      x ≥ 8

Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma (2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2  adalah 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 8

Sumber : sandykaputra